摘要　用不同的方法，得出与史瓦西的临界黑洞半径相同的结果。得出黑洞的最小质量。首次提出黑洞的黑影半径公式。引力的传播速度必然快于光速。

　　关键词　黑洞的临界半径，黑洞的最小质量，黑洞的黑影半径公式

　　一、黑洞的临界半径

　　为求黑洞的最小质量，先求出黑洞的临界半径。设运动质量为m的光子在质量为M的星球表面向外逃逸，则：当光子的引力势能大于或等于光子的动能，即≥。则光子逃逸不出星球，使该星球成为黑洞。当＝……1时，则是星球形成黑洞的临界条件，g是光子的重力加速度，它等于光子所受的万有引力除于它的质量，即……2。2式代入1式得，这便是黑洞的临界半径。也许有人对求解过程中对光子的引力势能、动能和引力的处理持有异议，但这样处理的结果却与经过复杂求解过程得出的史瓦西半径完全一致，绝不可能是偶然的巧合，可作为史瓦西解法的殊路同归，及光子有运动质量的验证。

　　引力对光子的作用说明：引力的传播速度必须快于光速；否则，引力的传播速度．引力子的速度就追不上光子，就不能对光子产生作用力。这也许是迄今找不到引力子的主要原因。

　　二、临界黑洞的密度与黑洞的最小质量

　　如果仅从史瓦西半径看，所有半径尺度和质量大小的黑洞的存在都是可能的，但其实并非如此。

　　设一质量为M，半径为r的临界黑洞，它的密度……1，因星球是球体或近似球体的，故……2；……3；3式代入2式后代入1式得……4。

　　临界黑洞的密度说明，它的密度与它的质量的平方成反比。即质量越小的黑洞它的密度必须越大。

　　有充分的理由认为除黑洞以外的所有星球所能达到的最大密度，就是中子星的密度。这是因为恒星在恒星坍塌形成中子星的过程中，它的引力战胜其它力，把原子外层的负电子压到原子核里去与质子上的正电子结合而成为中子星。这个坍塌的恒星如果质量太小，则引力产生的压力不够，不足于成为中子星；而质量过大则成为黑洞。因此，必定有一个形成黑洞的最小质量。

　　由4式得（C是光速，是圆周率，G是引力常数，d是中子星密度，）

　　当密度d等于中子星的密度时，可得黑洞的最小质量（中子星的密度取，M需随此密度的精确值调整）。

　　三、黑洞的黑影半径

　　掠过黑洞“附近”的光都会被它吸入进去不能出来，而使黑洞在视觉上的黑影比黑洞星球的实际半径要大。因为黑洞的黑影半径是黑洞星球的半径加上“附近”空间的距离，现在来求黑洞的黑影半径。

　　设一个质量为M的黑洞。有恒星光线从黑洞的附近，距黑洞的中心距离为的地方掠过（见图1）。则光线会发生偏转，光线的总偏转为，得（是光线偏转的角度，G是引力常数，M是黑球质量，是光线未偏转前至黑球中心的距离）。当≥时，光线被吸入黑洞或绕黑洞附近作圆周运动。当＝时，得黑洞的黑影半径：。

　　经用万有引力公式计算，得，银河系中心的银核黑洞的质量是千克，银核黑洞的黑影半径是米。

　　黑洞的另一效应是引起宇宙膨胀。黑洞作为主引力场，吞噬其它质量使其质量不断增大，不论它的质量增大还是爆炸，主引力场的引力质量的增大还是消失，其万有引力效应都会引起围绕它运转的星球之间的距离增大，引起宇宙膨胀。

　　5.1光的偏转（施瓦茨希德解法）

　　迄今为止，广义相对论的实验验证包括厄阜实验、引力红移、行星轨道的近日点前移和光线经过太阳近旁的偏转。后三个效应是以场方程的球对称解为基础的。我们现在按照K·施瓦茨希德（Schwarzshild）方法来求这个解。

　　我们以平坦空－时的球对称线元平方

　　　　　　　　　　（5.1）

　　作为出发点.

　　现在我们在原点引进一球对称的质量. 这时，式（5.1）必须加以修改，但这一修改应使球对称性和善于时间反演的对称性保持不变。由此导出

　　 　（5.2）

　　我们选用一新坐标r，使得.令得于是

　　 (5.3)

　　对于物体周围虚空的空间，，从而场方程变为

　　将上式乘以并降秩，得R = 0. 真空的引力场方程变为

　　 (5.4)

　　为便于计算，我们给出的不等于零的分量：

　　 (5.5)

　　5.2 对行星轨道的影响

　　可利用式（5.5）写出质点或光线的短程线方程. 关于坐标的微分方程为

　　　　　　　　　　　 　　(5.22)

　　对于静质量异于零的粒子，s是沿短程线的间隔. 如果将包含初始速度与中心质点的平面取作，则问题可以简化. 在初始时刻，，并由式（5.22）得 因此整个轨道将处于赤道面内. 其余的短程线方程为

　　　　 　 　(5.23)

　　 (5.24)

　　 (5.25)

　　方程（5.24）和（5.25）很容易积分，结果为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(5.26)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　(5.27)

　　和是轨道常数. 我们不去直接求式（5.23）的积分，而是通过时的施瓦茨希德度规（5.13）写成如下形式：

　　　　　　　　　　　 　　　 (5.28)

　　5.3　光线的偏转

　　为了讨论光线在引力场中的偏转，我们必须再度解出由式（5.22），（5.23），（5.24）及（5.25）给出的短程线方程. 积分（5.26）和（5.27）依然成立. 代替式（5.28），我们得到一关于零间隔的对应关系式. 首先令施茨希德线元平方为零，然后再除以：

　　　　　　　　　　 　　(5.41)

　　现在不是间隔而是另一参数. 将式（5.26）和（5.27）应用于式（5.41），并令，则导出方程

　　　　　　　　　　　　　 　　(5.42)

　　更为容易的是处理微分方程(5.42)所得的方程，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (5.43)

　　采用在解式(5.30)时使用过的方法，可以求出式(5.43)的二级近似解；结果为

　　　　　　　　　　　　　　　 　(5.44)

　　式(5.44)中的积分常数是未受扰动的光线到物体的最近距离（见图5.2）.

　　当时，我们得到的两个值，它们是方程

　　　　 (5.45)

　　的解. 令这两个值为

　　　 (5.46)

　　解出式（5.45），得总偏转为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(5.47)

　　对于从太阳边缘掠过的恒星光线，式（5.47）给出的＝1.75秒.

　　对于日食时观察到的偏转，每次测得的值约有百分之十的可几误差，并且同式（5.47）的预期值之差通常不超过百分之十. 十一次日食的平均观测值，同式（5.47）的符合程度约为500分之一.

　　参考文献：

　　［1］［2］广义相对论与引力波［美］J·韦伯著

　　［3］论致密物质、宇宙密码［John Schwarz］

　　（1）霍金讲演录：时间简史－从大爆炸到黑洞。

　　　　　　　　　　 万有理论－宇宙的起源与归宿。

　　（2）黑洞与时间弯曲［美］基普·S·索恩著

　　（3）黑洞［法］约翰－皮尔·卢米涅著

　　（4）广义相对论导论　F.R.坦盖里尼著　

　　（5）狭义相对论　G.司蒂文逊

　　（6）狭义与广义相对论浅说　A.爱因斯坦著

　　（7）相对论　W.泡利

　　[作者简介]　李宗洪（1960－　）男，广东兴宁枫岭人，中国管理科学研究学院研究员。

　　地址：广东省兴宁市宁中镇枫岭达运楼　　邮政编码：514500

　　电话：0-13138007367