第三章 氢原子光谱――拍
这里提出的观点与现行“跃迁”理论不同，认为原子内层能级高，外层能级低。原子光谱是各层可能轨道上的电子运动所辐射的电磁波相互干涉的结果。（各层可能轨道上频率、振幅、初相都可能不同）。
为了进行比较，我们先看谐振动。
§3.1 谐振动
一、谐振动的基本概念
任何一个振动量（力学量或电学量）如果是时间的余弦或正弦函数，则这个振动量所作的振动即为谐振动。
谐振动是一种周期运动，它的周期或频率完全由系统本身的性质（力学或电学等性质）所决定。
谐振动的振幅不随时间而变化，故谐振动是一种等幅振动。在谐振动的运动方程 中的绝对值最大等于A，A为振幅。作谐振动的小球任一时刻t的位置和速度由 来确定。换言之，能够确定小球在任一时刻的运动状态。我们把叫做谐振动的周期，Φ是初周相。对一定的振动系统（ω为已知），谐振动的振幅和初相由初始条件决定。即
综上所述：要完全确定一个谐振动需要周期（或频率）、振幅和初相三个物理量。对于给定的振动系统，周期（或频率）由系统本身的性质决定，而振幅和初相由初始条件决定。
二、谐振动的矢量图表示
如图3－1所示，由原点O作一矢量A，使它的长度等于振幅A，矢量A以角速度ω在图平面内绕O沿逆时针方向作匀速运动。矢量A叫做旋转矢量或振幅矢量。图中Φ表示在t＝0时刻的初相，是t＝t时刻的初相，这时振幅矢量A在X轴上的投影为： ，它就是作谐振动的质点在时刻t的位移X，因此振幅矢量A的未端点Q在X轴上的投影P，也就是作谐振动的质点在时刻t的位置。
由此可知，振幅矢量A在逆时钟方向的转动过程中，点Q作匀圆周运动，点Q在X轴上的投影点P在OX轴上作谐振动，振幅矢量A转一周所需要的时间与谐振动的周期相等。在t＝0时刻，振幅矢量A与X轴之间的夹角Φ与谐振动的初相对应；在t＝t时刻，A与X轴之间的夹角与谐振动的周期相对应；A转动的角速度ω与谐振动的圆频率相对应。
三、谐振动的能量
弹簧振子的势能等于
 （3.1）
与势能相联系的功为
 （3.2）
弹簧振子的动能等于
 （3.3）
与动能相联系的功为
 （3.4）
弹簧振子的总机械能为
 （3.5）
上式表明弹簧振子作谐振动时，其总机械能保持恒定不变，位能和动能是不断地相互转化着。如位移最大时，位能最大（ ），动能最小（ ）；而当位移为零时，动能最大（ ），位能最小（ ）。
我们将会看到在电子绕核运动的体系中却不是这样。
弹簧振子系统的功也是守恒的。系统总功等于与动能相联系的功以及保守力功、非保守力功和外力的功之和。并且和势能相联系的功与势能增量同向，所以它取正号。
 （3.6）
因为弹簧振子系统外力的功，非保守力的功均为零，所以机械能的功为
 （3.7）
或者
 （3.8）
即弹簧振子系统的功为总机械能的一半。但这并不影响弹簧振子系统功和能的同时而且分别守恒。
我们将会有趣地看到在原子回转体系中能量并不守恒。
§3.2 电子在原子中的轨道运动
电子在原子中的轨道运动，可看成是振幅相同，周相差为π/2或3π/2的两个互相垂直的谐振动的合成。周相差为π/2时，电子绕核顺时针运动，叫做右旋运动；周相差为3π/2时，电子绕核逆时针运动，叫做左旋运动。合振动的周期（或频率）和分振动的周期（或频率）相同。
一、电子轨道运动的能量
电子轨道运动的能量与弹簧振子系统情况不同。在第二章我们已经推得，电子轨道运动的动能为
 （3.9）
（根据  ）
与动能相联系的功为
 （3.10）
电子轨道运动的势能为
 （3.11）
与势能相联系的功为
 （3.12）
由式（3.9）、（3.11）我们看出，电子轨道运动的动能与势能相等，即轨道运动的向心力与离心力相等。动能为脱离能而势能为束缚能，它们处于平衡状态，所以是稳定的。但是总机械能并不守恒。把电子轨道运动看成是互相垂直的谐振动合成时，动能最小（）时，势能也最小（Er与r成反比）；动能最大（ ）时，势能也极大。然而，在X轴和Y轴两个方向上，动能和势能是分别守恒的。即在X轴方向动能减小时，在Y轴方向的动能增大；在X轴方向势能减小时，在Y轴方向的势能增大。这是原子体系和弹簧振子系统的重大区别。
我们再来看功。由式（3.10）和（3.12）我们知道，和势能相联系的功是和动能相联系的功的2倍。功是能量的量度，当势能功的一半转化为动能时，另一半一定是以辐射的方式转化出去。也就是说，在原子体系中，与势能相联系的功是和与动能相联系的功，加上与辐射能相联系的功在数值上相等的。因为非保守力的功为零，而与动能相联系的功和与势能相联系的功反向，所以它取负号。即
 （3.13）
于是
 （3.14）
负号说明辐射功是体系对外做功。
辐射能 在数值上等于辐射功
 （3.15）
二、轨道运动参数v和r的确定
由库仑力和牛顿定律我们有
（3.16）
这是二元二次方程，要想得到确定的解，还得建立第二个方程。
为了建立第二个关于（v，r）的方程，我们现在来讨论德布罗意波。“不破不立”，既然本论文集称为《二十世纪物理学批判》，我们还是批判地先看一看以下两个问题。
（一）、经典德布罗意波公式的质疑
通常德布罗意波相对论公式为
 （3.17）
当V＜＜C时。上式为
 （3.18）
式中 m为电子运动质量；m0为电子“静止”质量。
电子在电场中获得加速，电场力的功为
解得
 （3.19）
将式（3.19）代入式（3. 18）得
 （3.20）
式中
代入（3.20）得
 。 （ ） （3.21）
当 
当 
这与实验事实相符。但是
当  时， 代入（3.19）式解得速度为
当  时， 代入（3.19）式，解得速度为
我们知道光速C的数量级是108，上述数据显然与运用德布罗意波的相对论公式时，要求V＜＜C的假设条件相矛盾。
事实上，即使不对电子进行电场加速，按气体分子运动论，电子热运动的平均速度为
 （3.22）
式中 m为电子的质量；T为绝对温度；k为玻尔兹曼恒量。
在室温下，算出电子的平均速度约为105[米][秒]-1数量级。
再按玻尔原子轨道理论，在玻尔半径轨道上运动的电子速度是2.18768×106[米][秒]-1。
由此可见，在运用德布罗意波相对论公式时，V＜＜C的假设条件是值得怀疑的。
其实，我们在第一篇《经典洛仑兹变换公式是错误的》论文中已经证明质量不随速度而变化，因而德布罗意电子波的波长公式就是
 （3.23）
无所谓静止质量与运动质量；速度v也没有任何限制。
（二）、光子的“静止”质量是零吗？
通常的观点认为光子的静止质量为零，其运动质量与能量E＝hv有关，能量越大，运动质量越大。根据本论文集第一篇提出的观点，质量是标量，在相互作匀速运动的坐标系中是恒等不变的。也就是说物体，不管是宏观物质，还是微观粒子，运动都不会改变物体的质量。
现在我们从普朗克量子假设看光子的质量
普朗克提出的量子假设是：辐射物质中具有带电的线性谐振子，由于带电，谐振子能够和周围的电磁场交换能量，这些谐振子与经典振子不同，它们只能处于某些特定的分立状态，在这些状态中相应的能量是某一最小能量ε（ε叫能量子）的整数倍，即
ε，2ε，3ε，…，nε，…。 n为正整数。
对频率为ν的谐振子来说，最小能量为
 （3.24）
根据普朗克的这一假设，当光子的频率ν＝1时，则光子的能量为
ε＝h，2ε＝2h，…，nε＝nh，…。 n＝1，2，3，…。 （3.25）
根据质能关系式，放出一个光子的能量为
 （3.26）
式中  为光子质量，h为普朗克常数，C为光速。
由此解得光子质量为
 （3.27）
代入有关常数值得
 。
将光子质量与电子质量相比较得
即光子质量仅为电子质量的10－20数量级。
假设电子是由光子组成的，则光子的电量为
 （3.28）
普朗克说，辐射物质中具有带电的线性谐振子。那么这个带电的线性谐振子是什么呢？在本篇§3.2中，我们把电子的绕核运动看成是两个互相垂直的谐振动的合成运动。那么，由物质内部辐射的光，一定与电子的绕核运动有关。普朗克所说的带电的谐振子，就是电子的绕核运动。一般情况下，电子绕核运动的速度v 很大，每秒绝不是绕核运动一圈，因而辐射的光子能量为
 ；
 ； （3.29）
…
式中 ν为光子的频率，它和电子绕核运动的频率是不同的概念；我们在下文将会看到它们的区别。
（3.29）式相当于ν个光子的能量。频率ν相当于光子的个数，这并不奇怪，因为能量总是以单位时间来度量的。
ν＝1，单位时间内发射一个光子；能量是 ；质量是。
ν＝ν，单位时间内发射ν个光子；能量是 ；质量是（ ）。
普朗克所说的与最小能量相联系的光子运动质量，实质上是单位时间内，发射ν个光子的总质量：（）。
在我们批判地认清德布罗意波公式和光子的质量后，下面我们继续研究德布罗意波以便为轨道运动参数（v，r）的确定，建立第二个方程。
（三）、光子的德布罗意波长
我们已经知道电子的德布罗意波长为
式中  ， u为加速电压。
因实验已经证实光的速度为C，所以光子的德布罗意波长为
 （3.30）
代入有关常数解得
 （3.31）
我们知道（3.26）式，对ν＝1时成立。将（3.26）式改写为
 （3.32）
式（3.32）就是波长公式（3.30）。
光子的运动速度等于波速（ν＝1时的波长）。由于光子的波长很长，光子的运动速度又等于波速，所以光子的德布罗意波呈现粒子性。
（四）、微观粒子的德布罗意波速
设波速为u，则
电子的德布罗意波速为
 （3.33）
可以看出电子的运动速度和波速是不同的。
对于光子来说，波速为
 （3.34）
由于光子的运动速度是C，光波的波速也是C，所以光子的德布罗意波频率只能等于1。这和电子的德布罗意波是不同的。
（五）、微观粒子的德布罗意波能量
1、电子波的能量
由式（3.33），当ν＝1时，能量为
 （3.35）
当频率为ν时，因波速，能量为
 （3.36）
当电子的运动速度等于波速，即 时，能量为
 （3.37）
2、光子波的能量
由式（3.34），当ν＝1时，能量为
（3.38）
当ν≠1时，能量为
 （3.39）
因为频率ν是以单位时间量度的，所以与频率有关的能量也是以单位时间量度的。光的频率越高，单位时间内，具有能量的光子数越多，总的能量也越大。
（六）、物质的德布罗意波长的比较
1、子弹波的波长
设一质量 克的子弹，以速度 运动，此子弹的德布罗意波长为
可见，对于宏观物体，质量m大，德布罗意波长λ则小到超出实验测量的范围，因而表现出经典特性，即粒子性。
2、电子波的波长
我们已经算得，当加速电位差u＝150v时，电子的德布罗意波长为
其波动特性比较明显，相当于X射线。
3、光子的德布罗意波长
我们已经算得，光子的德布罗意波长为
由于波长很长，长到等于一个光程C，而光子的运动速度也是C，所以其波动性又不明显了，而呈现出粒子性。
我们将上述内容绘图列表于下（见表3－1）
（七）、第二个方程的建立
上面我们讨论了电子的德布罗意波长为
（3.40）
电子每绕核一圈，电子轨道运动的波程为轨道周长
 （3.41）
上述（3.40）式表明，电子的德布罗意波长是与一个光子的能量h相联系的。如果电子每绕核一圈的波程等于德布罗意波长，即
 或  （3.42）
认为是电子每绕核一圈，具有发射一个光量子（h）能力的话，那么外层轨道上，因波程（轨道周长）增大，电子每绕核一圈具有发射多少个光量子的能力呢？
由式（3.16）知道，r与v2成反比；由式（3.41）则有s也与v2成反比；由式（3.40）知，λ与v成反比，因此波程s与λ2成正比。
设第n轨道， ，则第n轨道
 （3.43）
于是
 。（h） （3.44）
就是说，第n个轨道上，电子每绕核一圈，具有发射n个光子的能力，或者说发射了nh能量。因为n是光量子个数，n只能取正整数。于是式（3.44）可写成
 ， n＝1，2，3，…。 （3.45）
这就是说，电子每绕核一圈的波程，应为电子德布罗意波长的整数倍。
将式（3.40）、（3.41）代入（3.45），于是我们建立了第二个方程
 ， n＝1，2，3，…。 （3.46）
联立求解二元二次方程组（3.16）和（3.46），得到轨道运动参数：
 ， n＝1，2，3，…。 （3.47）
 ， n＝1，2，3，…。 （3.48）
对于氢原子，z＝1。令n＝1，代入有关常数，我们求得氢原子玻尔半径和电子轨道运动速度为
这个速度是很大的，通常认为原子中电子的运动速度可视为零，像康普顿公式推导中假设的那样，或者认为V＜＜C，像德布罗意波中假设的那样，显然是与实际情况不符的。
三、电子轨道运动的频率――德布罗意波频率
 ， n＝1，2，3，…。 （3.49）
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
四、电子轨道运动的德布罗意波长
 ， n＝1，2，3，…。 （3.50）
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
五、电子轨道运动的德布罗意波速
 ， n＝1，2，3，…。 （3.51）
电子轨道运动的德布罗意波速，等于其轨道运动速度的1/n。
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
六、电子轨道运动德布罗意波的能量
 ， n＝1，2，3，…。 （3.52）
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
七、电子轨道运动的辐射能
将式（3.47）代入（3.15）得
 ， n＝1，2，3，…。 （3.53）
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
因为En与n2成反比，所以原子中，外层电子辐射能小；内层电子辐射能大。
由式（3.52）和式（3.53）可得，电子轨道运动的辐射能等于德布罗意波能量的n/2倍：
 （3.54）
八、电子轨道运动的辐射频率（光频率）
由式（3.42）、（3.44）我们知道，在第一轨道上，电子每绕核一圈，具有发射一个光子（h）的能力；在第n轨道上，电子每绕核一圈，具有发射n个光量子（nh）的能力。也就是说轨道发射能力与轨道量子数n成正比。但是，由式（3.49）我们看出，电子轨道运动的频率不等于1，且与n3成反比，越往外层，辐射能力越小，光辐射的频率应该是越低。
因为h是代表一个光子的能量，总能量E与h的比值应为光子的数量，根据式（3.53），在第n轨道上，辐射的光子数（频率）为
 ， n＝1，2，3，…。 （3.55）
对于氢原子，z＝1。n＝1时， 。
由式（3.49）、（3.55）可得，电子轨道运动的辐射频率等于德布罗意波频率的n/2倍：
 （3.56）
由上述情况，我们还能看出，电子轨道运动的德布罗意波频率和轨道运动的辐射频率是不同的概念。
九、氢原子光谱――拍
由式（3.55），当z＝1时，氢原子光谱项为
 ， n＝1，2，3，…。 （3.57）
代入有关常数，得表3―2。
氢原子光谱谱线系由式（3.55）或（3.57）可表达为：
 （3.58）
式中  为里德伯常数；n和m为正整数。
按频率递增，波长递减规律排列，氢光谱线系如下：
普丰特系：ν1′＝普丰特项－第六项；
ν2′＝普丰特项－第七项；
余类推。
布喇开系：ν1′＝布喇开项－普丰特项；
ν2′＝布喇开项－第六项；
余类推。
我们列表如下：
表3－3 氢光谱谱线系
普丰特系  ,  ,
n=5；  ,  ,
m=1,2,3,…。  ,  ,
 。  。
布喇开系  ,  ,
n=4；  ,  ,
m=1,2,3,…。  ,  ,
 。  。
帕邢系  ,  ,
n=3；  ,  ,
m=1,2,3,…。  ,  ,
 。  。
巴尔未系  ,  ,
n=2；  ,  ,
m=1,2,3,…。  ,  ,
 。  。
赖曼系  ,  ,
n=1；  ,  ,
m=1,2,3,…。  ,  ,
 。  。
由上表我们看出，原子光谱的频率，其实就是拍频。
氢原子光谱等于光谱项频率的两两谱项差，或者说我们观察到的各类光谱线系，只是各轨道运动辐射光波两两合成的结果。当单电子原子处于基态（束缚能最大状态），由于辐射光波杂乱无章的干涉，相互抵消，所以即使原子辐射光频在可见光范围，我们也观察不到原子发光。只有当大量原子激发，克服内层较大的束缚能，使电子处于外层轨道，造成大量同方向，不同频率，不同振幅，不同周相的谐振动的合成，才能观察到。
对于多电子原子来说，每条轨道上的两个电子，运动辐射光频属于同频率、同振幅、反周相的合成，结果是满足泡利不相容原理的两个电子，各轨道辐射自行抵消，也就谈不上同轨道辐射的两两合成了，所以通常也就观察不到光谱。只有当最外层的电子（如硷金属价电子）被激发，才能观察到光谱线系。这种激发应该是大量的，少量的激发态随时都会发生，但因强度太弱，也是观察不到的。 |
