第五章　电子轨道运动的条件、形状和能量

电子在原子核的库仑场中运动，正如行星绕太阳运动，是受与距离的平方成反比的力的。这样的运动按照力学，一般应该是椭圆轨道运动，圆形轨道只是椭圆轨道的特殊情况。

§5.1　电子椭圆轨道运动的充要条件

电子椭圆轨道运动的充分、必要条件，是电子每绕核一圈的波程等于德布罗意波长的整数倍。即式（3.45）所表示的

，　　n＝1，2，3，…。　　　（5.1）

描述椭圆轨道运动中电子的位置可用极坐标，如图5－1所示。

Φ和r是坐标参数；v是轨道运动速度，是径向分速度，是角向分速度。

电子绕核椭圆运动的德布罗意波长为

式中　是椭圆轨道运动的电子运动速度，它是r的函数。

如果将进行矢量分解应有

　　　和　

它们应分别满足轨道运动的条件（5.1）式。

　　　　　　　　　　　　　　　（5.2）

　　　　　　　　　　　　　　　（5.3）

因为椭圆运动轨道中，不能为零，但径向速度分量可以为零。又由于n表示发射光子的个数，所以

＝1，2，3，…，n，…　　　　　　　　　　（5.4）

＝0，1，2，…，（n－1），…

当＝0时，是圆形轨道。

将式（5.2）、（5.3）两边相加并进行矢量合成有

　　。　　n＝1，2，3，…。　（5.5）

式中　。

从式（5.2）、（5.3）和式（3.16）等各式进一步推算可以求得椭圆轨道半长轴a和半短轴b的关系和数值

　　　　　　　　　　　　　（5.6）

　　　 　（5.7）

　 　（5.8）

式中　为氢原子中电子最小轨道半径，即玻尔半径。

现在我们查看一下轨道形状同量子数的关系。由（5.7）式可知，半长轴只决定于n，与无关，所以n相同的轨道，半长轴是相等的。由（5.8）式知，半短轴决定于n和。对于同一n，如果不同，半短轴不同。n和都是正整数，而短轴与长轴之比等于，可见椭圆轨道的形状是有一定的。对同一个n，有几个的值，就有几个不同半短轴的椭圆轨道，它们的半长轴是相同的。这样，轨道的大小和形状都是量子化的，不得任意变化。

于是我们找到了电子椭圆轨道运动的充分、必要条件是

　　　　　　　　　　　（5.9）

式中　是电子每绕核一圈的波程，对于轨道来说就是其周长；

　　　是半短轴方向的波程；

　　　是半长轴方向的波程。

用量子数表示椭圆轨道运动的充分必要条件就是

　　　　　　　　　　　　　　　（5.10）

式中　n＝1，2，3，…，n；

　　　　＝n，(n－1)，（n－2），…，1；

　　　　＝0，1，2，…，（n－1）。

因为是由n和决定的，如不考虑，则电子椭圆轨道运动的量子条件是

n＝1，2，3，…，n；

　　　　＝n，(n－1)，（n－2），…，1。

§5.2　电子轨道运动的形状

由式（5.10）我们看出，对一个n值，有n 对和。其中有一对是＝n，＝0。这就相当于n个不同形状的轨道，其中有一个是圆形，n－1个是椭圆。现在我们把n＝1，2，3，4四套轨道的数据列表于下。

注意图中显示原子核处于圆形轨道的圆心上，并在每个椭圆轨道的一个焦点上，所以图中椭圆轨道都偏在一边。

§5.3　电子椭圆轨道运动的能量和功

这体系的能量由动能（脱离能）、势能（束缚能）和辐射能构成。这体系的能量并不守恒。

体系的动能和势能相等，即离心力等于向心力，故能维持稳定的轨道运动。用数学公式表示为

　　　　　　　　　　　　　　（5.11）

即离心力等于向心力；或者

即动能等于势能。

这体系的功，由式（3.14）给出为

　　　　　　　　　　　　　　（5.12）

式中　是与辐射能相联系的功；

　　　是与动能相联系的功；

是与势能相联系的功，即库仑力的做功本领。

式（3.53）已经给出圆形轨道辐射能，现在我们来推导椭圆轨道的辐射能。

我们知道，电子椭圆轨道运动的径掠面积速度为常量，设该常数为H/2（设成什么无关紧要，主要是为了公式简明好看），则有

　　　　　　　　　　　　　（5.13）

仍为常量。

式中　σ表示电子的矢径所掠过的面积代数值，当电子逆钟向转动时σ取正值，反之取负值。

设m为电子质量，则

　　　　　　　　　　　　　　　　（5.14）

为了完全确定电子的运动，可利用直角坐标形式的微分方程。库仑力在X轴、Y轴上的投影分别为

　　　和　

故　　　

利用关系式（5.13），以代入上式并消去时间，得

令，积分一次，则得

　　　　　　　　　　　　（5.15）

为了简单起见，假定电子作逆钟向运动，并在轨道上取矢径垂直于速度的一点P，亦即设；这总是可以做到的，如图5－2所示。

令OX重合于OP，则当电子e通过P时，，，。于是，以这些条件代入式（5.15），即可定出积分常数

　　　　　　　　　　　　（5.16）

其中参数δ为椭圆轨道的偏心率：

　　　　　　　　　　　　　　　　（5.17）

则电子e的径向速度和周向速度分别为

　（5.18）

以面积速度的值（5.13）代入上列第二式，求得电子的坐标r与Φ之间的关系式，亦即电子的轨道方程

　　　　　　　　　　　（5.19）

引入参数：

　　　　　　　　　　　　　　　　 （5.20）

则椭圆轨道方程（5.19）即可写成常见的形式

　　　　　　　　　　　　　　（5.21）

这个方程所描述的轨迹为二次有心曲线，焦点之一就在力心O。当δ小于、等于或大于1时，分别得到椭圆、抛物线或双曲线轨迹。电子的椭圆轨道只是特例。

已知电子轨道运动在库仑场中的势能功为式（3.12）：

而动能的功为式（3.10）：

以式（5.18）之值代入，并利用式（5.12），得辐射能的功为

整理后得

　　　　　　　　　　　（5.22）

又因为椭圆偏心率为

式中　a为长半轴；b为短半轴。

将：；；；。

代入式（5.22）得

                            (5.23)

这就是椭圆轨道的辐射功公式，负号表示体系对外做功。

椭圆轨道的辐射能为

　　　　　（5.24）

当时，是圆形轨道的辐射能，就回到了式（3.53）。

　　由式（5.24）我们看出，辐射能与n和都有关，相同的n，不同的，轨道能量不是简并的。其中的圆形轨道辐射能最大。而且，不但是辐射能最大，势能（束缚能）也最大，动能（脱离能）也最大。即原子中，内层能级高，外层能级低。