第六章　电子的轨道数量

我们由：

式中　n＝1，2，3，…，n；

＝n，(n－1)，（n－2），…，1。

已经知道了原子中电子轨道运动的形状和大小。

例如n＝1，＝1，是小圆轨道；n＝2，＝2，是大圆轨道等等。

又如n＝3，＝2，是第一类椭圆轨道；n＝3，＝1，是第二类椭圆轨道等等。

空间是各向同性的，只要波程与波长的关系满足

　　　　n＝1，2，3，…。

都是电子活动的领域，都可能有电子运动的轨道。在原子中不同的n，不同的所决定的不同种类，不同大小的轨道难道仅仅只有一条吗？甚或有无数多条，以构成所谓“电子云”？还是只有确定的几条呢？

现在让我们来研究电子轨道的数量问题。

§6.1　由电子轨道磁矩看轨道的数量

　　一、电子轨道运动磁矩

电子的轨道运动相当于一个闭合电路中的电流，而一个有电流流着的闭合电路的磁性作用相当于一个磁壳，其磁矩为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.1）

式中　i是以安培为单位的电流；A是电路包围的面积，以平方米为单位。

那么磁矩μ的单位是安培·米²。在轨道上任何一点，电子每一周期通过一次。如果以e代表电子所带电量，那么

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.2）

式中的e是以库仑为单位；τ是周期，以秒为单位。

如图6－1所示。

面积A可以计算如下：

　　（6.3）

式（6.3）中，积分号下的是轨道角动量，它是常数，可以挪出积分号外。

于是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.4）

把式（6.2）、（6.4）代入（6.1）得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.5）

此式表示轨道运动产生的磁矩与轨道角动量的数值关系。由于电子是带负电的，它的轨道磁矩与轨道角动量的方向相反。由（5.2）式

可得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （6.6）

将式（6.6）代入（6.5），即得电子轨道运动磁矩为

　　　　　　＝1，2，3，…。　　（6.7）

式中　是轨道磁矩的最小单元，称为玻尔磁子。

　　电子轨道运动的磁矩也是量子化的。

　　二、原子核的磁矩

原子核的磁矩表达式也具有的倍数的形式，但分母中的质量M是质子质量，它是电子质量的1836.1倍，所以原子核的磁矩比电子的磁矩要小三个数量级，在研究电子轨道数量的时候可暂不考虑。

三、轨道取向量子化

对于单电子原子，n＝1，＝1，是一个玻尔半径的圆轨道，它具有磁矩，在外磁场的作用下，将发生空间取向问题，并且取向是惟一的，即轨道磁矩的方向是顺着磁场的方向。在没有外磁场的情况下，单电子原子没有取向问题。

对于多电子原子来说，因为原子中总含有最小半径轨道且原子内层束缚能大，电子首先被束缚在n＝1，＝1的最小圆形轨道上。这样，因为原子中有了第一磁场，其它电子进入轨道时，将发生取向问题。

这里的观点，不同于现行教科书，如《原子物理学》中假设的那样：首先有外磁场存在，然后逐渐取消外磁场，原子取向不变。

这里的观点是各种原子形成时，首先出现第一轨道的电子环流磁场，因为第一轨道的能量最大，电子运动速度最快，环形电流最大，磁场最强，其它电子轨道运动产生的磁场，在磁力的作用下，将服从第一磁场，发生取向问题。

在原子核的宇宙中，电子是在三维空间中运动的，其轨道是空间曲线，满足轨道运动条件：

或者

n＝1，2，3，…，n；

＝n，(n－1)，（n－2），…，1。

的电子绕核运动的轨道应该有许多条。但是，由于第一轨道磁场的存在，空间轨道的取向被量子化了，因而轨道的条数也量子化了。

（一）、空间取向量子化的原因

我们知道把线圈悬在磁场中某点处，并设线圈的悬线没有扭力矩，将线圈通上电流，线圈的磁矩是矢量，其方向与线圈的法线方向一致，n表示沿法线方向，法线与电流（正电荷）成右旋系统，如图6－2所示。

这个线圈转到一定的位置而平衡。平衡时，线圈所受到的磁力矩为零，线圈的法线所指的方向，定义为线圈所在处的磁场方向。

如果我们转动线圈，使线圈偏离平衡位置，那么该线圈所受的磁力矩并不为零。当线圈从平衡位置转过90°时，线圈所受的磁力矩最大。这一磁力矩使转角α减小，当α＝0，亦即线圈平面与磁场方向垂直时，线圈磁矩的方向与磁场方向相同，线圈所受到的磁力矩为零，这是线圈的稳定平衡位置。

时，线圈平面虽然也与磁场方向垂直，但与磁场B的方向正相反，线圈所受到的磁力矩虽然也为零，但这一平衡位置是不稳定的。

由此可见，通电线圈在磁场中的转动促使线圈磁矩的方向与外磁场方向相同，此时线圈达到稳定平衡。

同理，原子中电子绕核运动的环流电流，必然要对第一轨道磁场发生空间取向问题。

（二）、圆形轨道的空间取向是惟一的

如图6－3所示。

B为第一轨道磁场，n为空间圆形轨道的法向，α是法线与磁场的夹角。空间圆形轨道在磁场中的投影为椭圆。可以证明：

　　　　　　　　　　　　　（6.8）

对于圆形轨道，，所以，因而

　　　　　　　　　　　　　 （6.9）

于是有

　　　　　　　　　　　　　　　 （6.10）

的取向是稳定状态。

对于n＝1，2，3，…，n；的所有圆形轨道，空间取向都应与磁场B的方向一致。不过第n圆形轨道空间取向所服从的磁场B，应为小于n的所有磁场（轨道的、自旋的）矢量和。当合矢量B＝0时，第n轨道上的电子绕核运动也就不存在空间取向问题了。这时，第n轨道电子运动的轨道磁矩，就代表了原子的磁矩。

（三）、电子椭圆轨道的空间取向角

如图6－4所示。

空间椭圆轨道在磁场内的投影可能是圆，也可能是椭圆。它们也应满足量子条件

　　　　　　　　　　　　　（6.11）

必须注意，这里的，，是空间椭圆轨道在磁场垂面内的投影（椭圆或圆）的量子数。它们决定空间椭圆轨道的取向。（由和决定）。

由图6－4我们看出，椭圆轨道投影轨迹，当时，是和空间椭圆轨道形状完全相同的。当α等于某角度时，投影轨迹是个圆。在圆投影的两侧，椭圆投影的长半轴和短半轴互换长短。也就是说，在圆投影的内侧，椭圆投影的长半轴等于空间电子椭圆轨道的短半轴b。在圆投影的外侧，椭圆投影的短半轴与空间电子椭圆轨道的短半轴b相等。

因为投影轨迹，不管是小椭圆，圆，还是大椭圆，它们都是同一量子数n，决定的空间椭圆轨道的投影轨迹，所以量子数和n相同。而和则相同也可能不同取值。

由图可得

　　　　　　　　　　　　　　（6.12）

式中　a为电子空间椭圆轨道的长半轴；

a′为投影轨道的短半轴。

投影轨道的短半轴a′是变化的，可能状态有a′＞b′；a′＝b′；a′＜b′。

1、当a′＞b′时，投影为大椭圆，且b′＝b。由式（6.8）可知有

　　　　　　　　　　（6.13）

由式（6.8）、（6.12）可得

　　　　　　　　　　　（6.14）

　　当＝，（或π），磁力矩最小，为零，是一个稳定状态的取向。

2、当a′＝b′时，投影为圆，且a′＝b′＝b。可得

　　。（因为）  （6.15）

3、当a′＜b′时，投影为小椭圆，可得

　　　　　　　　　　　　 （6.16）

（因为在投影小椭圆中有；。代入（6.12），利用式（6.8）即可）

由于在磁力矩的作用下，α角度逐渐减小，当＝n时，投影小椭圆变为圆。式（6.16）取得和式（6.15）相同的形式。如果此时，的椭圆轨道已被一个电子占领，α角度就不能再继续减小。因为同一量子数n，圆形轨道的束缚能最大，于是电子空间椭圆轨道取得第二个稳定状态（其投影轨迹为圆）。其方向角由式（6.15）决定

　　　　　　　　　　　　　（6.17）

在《原子物理学》教科书中，与这里得出的结论不同，那里是：

“。和都是整数，而，所以

＝，－1，…，0，…，－。”

（褚圣麟，《原子物理学》P61，高等教育出版社，1990年）

我们看到，“和都是整数”这句话是回避矛盾的，因为量子数和都应该是正整数。因而根本得不出上述结果，负值无法取得。

四、电子椭圆轨道的数量计算

现在我们来具体计算一下电子椭圆轨道的数量。我们将式（6.17）改写为

　　　（n′＝n）　　　　（6.18）

式中　n为主量子数；为空间椭圆轨道径量子数；为投影轨迹径量子数。

因为电子椭圆轨道和不能为零，而和可以为零。为零时，就不成为轨道运动，但为零时，是椭圆轨道的特例――圆轨道。所以电子椭圆轨道的空间取向，其量子数取值为

　　n＝1，2，3，…，n；

　 ＝n－1，n－2，…,0；

　 ＝n－1，n－2，…,0。

当＝＝0时，是圆形轨道的取向。

当≠0时，是椭圆轨道的取向，这时仍可取零，因为椭圆的投影可以是圆。

例如：

　　　　n＝2；＝1；＝1，0。

这样，主量子数n＝2时，共有六条椭圆轨道，其图像如图6－5所示。

其中有三条轨道磁矩与原子的内磁场（第一轨道磁场）方向相反，虽然磁力矩为零，但是属于不稳定平衡，稳定的椭圆轨道只有三条。这三条轨道的空间分布如图6－6所示。椭圆轨道本身还有进动和旋进，是个复杂的空间曲线运动。

又例如：

　　n＝3；

则　　　

其余类推。

由上述例子可以发现一个规律：核内电子轨道的空间取向（或轨道条数）与径量子数有关。

我们把＝1，叫第一类椭圆轨道；＝2，叫第二类椭圆轨道；＝3，叫第三类椭圆轨道等，分别以p，d，f，g，h来表示。而把＝0的圆形轨道用s表示。则相同的n

　　轨道条数＝（）　　　　　　　　（6.20）

这就是说，不同的n，＝0的所有圆形轨道（s轨道）只有一条；＝1的椭圆轨道（P轨道）有三条；＝2的椭圆轨道（d轨道）有五条。以此类推。

由上述例子还可以看出，同一n，电子轨道运动的能量不是简并的，并非像索未菲椭圆轨道理论所说，同一n的能量都是简并的。但是，同一n，同一的同类椭圆轨道有多条，只是取向不同，轨道能量应该是简并的。

§6.2　由电子自旋磁矩看轨道数量

　　一、电子自旋与轨道分裂

电子自旋只能有两个方向，或者左旋或者右旋。电子自旋在其自身轨道运动的磁场中受磁力矩的作用，也要发生取向。电子自旋的两个取向是一个顺着轨道磁场，一个反着轨道磁场，如图6－7（a）、（b）所示。

电子自旋在其自身轨道运动磁场中取向结束后，由于磁现象具有同极（N，N）相斥，异极（N，S）相吸的性质，所以自旋顺着磁场的电子，轨道范围略有增大；自旋反着磁场的电子，轨道范围略有减小。也就是说，电子轨道运动不但受库仑力的作用，也还受到磁力的作用。作用的结果，使具有某组量子数n和的理论轨道，发生分裂，一条变为两条。这两条轨道，一条位于理论轨道的内铡，一条位于理论轨道的外侧，但是它们相距很近，就好像是一条轨道一样。

对于圆形轨道（n＝），自旋顺着磁场的电子，轨道半径增大；自旋反着磁场的电子，轨道半径减小。对于椭圆轨道（n≠），自旋顺着磁场的电子，半长轴和半短轴都增大；自旋反着磁场的电子，半长轴和半短轴都减小。

因为电子自旋只能有两个方向，所以自旋取向量子数为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.21）

二、电子绕核运动的轨道数量

由于电子具有自旋，在自旋磁矩和轨道磁矩的相互作用下，不管是圆形轨道还是椭圆轨道，都将一分为二。因而

量子数为（由n和决定）的轨道数量为

　＝0，1，…，n－1。　（6.22）

量子数为n时，新增轨道数量最多为

　n＝1，2，3，…，n。　　　  （6.23）

量子数为n时，原子中轨道总数最多为

　　 （6.24）

三、电子自旋与轨道运动相互作用使轨道矢径发生变化。

在讨论电子轨道空间取向时，曾提到可能的取向数目决定于径量子数，即空间取向有（2＋1）个。这些轨道的角动量在磁场方向的分量依次相差。现在我们假设电子自旋角动量等于

　　　　　　　　　　　　　　　　（6.25）

S为待定的自旋量子数。

电子轨道运动的转向，或者顺时针，或者反时针，二者必居其一。如果定义顺钟向的轨道运动磁矩为正，则反钟向的轨道运动磁矩为负。电子自旋也要服从轨道磁场的方向进行空间取向。

我们知道，电子轨道运动的回转磁比率为；而电子自旋的回转磁比率为，它是轨道运动回转磁比率的两倍，这是自旋与轨道角动量的一个重大差别。因而。我们不应该按照上述关于轨道角动量取向的考虑，认为自旋角动量的取向也应该有个。

实际上，轨道转向只能有两个方向（不是空间取向，是转向），而自旋也是只有两个转向，或者顺着轨道磁场，或者反着轨道磁场。电子自旋服从轨道磁场进行取向时应满足

　　2S＝2，

则电子自旋量子数为

　　　　S＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.26）

这和通常的理论认为不同。电子自旋量子数S＝1是个真正的好量子数，它和光子自旋同出一辙，因而形式一致，而则带来困难。（在本论文集第三篇《基本粒子只有一种：光子》中我们将会看到这一点。）

又因为电子自旋磁矩由有关实验推得为

　　　　　　　　　　　　　　　　（6.27）

将式（6.25）和（6.26）代入（6.27）得

　　　　　　　　　　　　　　　（6.28）

为玻尔磁子。可见，电子自旋磁矩为2倍的玻尔磁子。

在§6.1我们已经推得电子轨道磁矩为

　　　　，　　＝1，2，3，…。

电子的自旋磁矩和轨道磁矩相互作用，相当于库仑力有了变化，自旋磁矩和轨道磁矩同向时，磁力相斥，相当于库仑力减小，轨道矢径要变大；自旋磁矩相反时，磁力相吸，相当于库仑力增大，轨道矢径要变小。

电子绕核运动要受到三种力：电力，磁力，万有引力。即

　　，　　　　　　　（6.29）

式中　为库仑力，是静电力；

　　　为自旋和轨道运动相互作用的磁力，属于静磁力；

　　　为电子在磁场中运动受到的洛仑兹力，属于动磁力；

　　　为万有引力。

万有引力为

　　　　。万有引力极小，可忽略不计。

洛仑兹力是动磁力，为

　　　　　　　　　　　　　　（6.30）

电子在原子中运动，所感受到的磁场，应该是原子实在电子处形成的磁场：

。

式中　v是原子实绕电子运动的相对速度。但是，此时相对地电子处于静止状态，没有运动也就没有洛仑兹力。即式（6.30）等于零。

库仑力为静电力：

　　　　　　　　　　　　　（6.31）

电子自旋和轨道运动相互作用的静磁力为：

　　　　　 （6.32）

式中　为玻尔磁子；为椭圆轨道的角量子数；；r为矢径。

即电子自旋和轨道运动相互作用的静磁力，与轨道磁矩和自旋磁矩的乘积成正比；与它们之间的距离成反比。

关于式（6.32）的量纲分析如下：

磁导率的量纲式为：；

玻尔磁子的量纲式为：；

矢径r的量纲式为L。

则（6.32）式右边的量纲为

　　　　。

这正是力的量纲式，说明公式（6.32）是正确的。

我们把式（6.31）、（6.32）代入（6.29），再按照式（3.16）和式（3.46）建立方程组

　　　　　　（6.33）

解此方程组有

　　　　　　　（6.34）

于是

 （6.35）

讨论：

当自旋磁矩与轨道磁矩同向时，磁力为斥力，在（6.34）中应取负值，于是有

　　＞

又因为轨道矢径不能为负，所以（6.35）根式外正、负号只能取正号

　　　　　（6.36）

当＝n时，为圆形轨道；≠n时，为椭圆轨道。我们看到，不管是圆形轨道还是椭圆轨道，考虑了电子自旋与轨道运动相互作用表现为斥力时，轨道矢径都变大。

当自旋磁矩与轨道磁矩反向时，磁力为吸力，在式（6.34）中应取正值，于是有

　　＜

又因为磁力表现为吸力时，轨道矢径要减小，而且是略有减小，所以外仍取正号

　　　　　（6.37）

当＝n时，为圆形轨道；≠n时，为椭圆轨道。我们同样看到，不管是圆形轨道还是椭圆轨道，考虑了电子自旋与轨道运动相互作用表现为吸力时，轨道矢径都变小。

这就是说，当考虑了电子自旋时，电子绕核运动的轨道都要一分为二。这里必须指出，原则上说在的公式（6.37）中，根式外面也可以取负值。这时将会更小，轨道将更分开，但是能级相差很大，已远离轨道分裂的概念。

四、考虑电子自旋与轨道运动相互作用后的能量和功

将式（6.35）代入（6.33）求出电子轨道运动的速度

　　　　　　（6.38）

这体系的动能为

这体系的势能为

这体系的机械能并不守恒。由式（6.33）知道，这体系的动能和势能是相等的。即

　　　　（6.39）

电子绕核椭圆运动考虑到自旋后，体系的功为

1、与动能相联系的功是：

　　　　　 （6.40）

2、与势能相联系的功是：

　（6.41）

将式（6.40）、（6.41）代入式（5.12）得

    　　　　　　　　　　（6.42）

式中　括弧外的负号表示体系对外做功。

这体系的辐射能为

    　　　　　　　　　　　　　　 　　（6.43）

式中：

为电子椭圆轨道的矢径。

上式中的符号应这样来取：

当电子自旋磁矩与轨道磁矩同向时，磁力为斥力，式（6.43）中取下面的正号

    　　　　　　　　　　　　　　 　（6.44）

式中：

当电子自旋磁矩与轨道磁矩反向时，磁力为吸力，式（6.43）中取上面的负号

    　　　　　　　　　　　　　　 　（6.45）

式中：

由于电子自旋使所有的圆形轨道和椭圆轨道都分裂为两条，因而辐射能也分裂为两种。

当n＝1时，1s圆形轨道是双层结构，能量有两种；当n＝2时，2s圆形轨道是双层结构，能量有两种，2P₁，2P₂，2P₃椭圆轨道都是双层结构，能量各有两种。由于P₁，P₂，P₃能量是简并的，n＝2的能量共有四种。n＝3时，3s双层，3p双层，3d双层，共有六种能量。以此类推。

我们把式（6.44）、（6.45）以及式（5.24）结合起来考虑会看到，当不考虑电子自旋时，椭圆轨道的辐射能量是与成反比的，或者说与成反比。但由式（6.44）、（6.45）看出，当考虑了电子自旋与轨道运动相互作用后，同一轨道分裂成的两条轨道，r大的辐射能在减小的同时，略有增大；r 小的辐射能在增大的同时，略有减少。

这就是说，由电场力的功所决定的辐射能，随着轨道矢径r的增大，辐射能力减低。而由电子自旋和轨道运动相互作用的磁力，当它们相斥时，补偿的结果是使辐射能略有增加；而当它们相吸时，补偿的结果是使辐射能力略有减少。

由于磁力相斥，使矢径r增大，本来能量应更小的，但在减小的基础上却有所增加；由于磁力相吸，使矢径r减小，本来能量应该增加的，但在增加的基础上却略有减少。